基本子空间中有着更加特殊和精确的关系,由此可以引出向量空间的正交性及投影等问题。

正交性及正交补

定义:设SSTTRnR^n的两个子空间(subspace),如果对于VS,wT,vTw=0\forall V\in S, w\in T, v^Tw=0,则SS垂直于TT(S is perpendicular to T),并且,这个定义是对称的,即SS垂直于TT<=>TT垂直于SS。记做STS\perp T。也可以说SSTT是正交的(S and T are orthogonal)。

几个常见结论

  1. A=B1B2A = B_1B_2,其中B1B_1n×rn\times r 矩阵,B2B_2r×nr\times n矩阵,后两矩阵秩都为rr,则AA是一个n×nn \times n 矩阵,且r(A)=rr(A) = r

    AA的每一列是B1B_1的列向量的线性组合,因此C(A)C(B1)C(A)\subset C(B_1)

    AA的每一列是B2B_2的行向量的线性组合,因此C(AT)C(B2T)C(A^T)\subset C(B_2^T)

    B1B_1是列满秩,则存在可逆n×nn\times n矩阵E1E_1E1B1=(Ir 0)TE_1B_1 = (I_r\space 0)^T

    B2B_2是行满秩,则存在可逆n×nn\times n矩阵E2E_2B2E2=(Ir 0)B_2E_2 = (I_r\space 0)

    C(A)=C(AE2)=C(B1(Ir 0))=C(B1)C(A) = C(AE_2)=C(B_1(I_r\space 0)) = C(B_1)。因此,dimC(A)=dimC(B1)dimC(A) = dimC(B_1),即r(A)=r(B1)=rr(A) = r(B_1) = r

  2. AA的列向量线性无关,则ATAA^TA为可逆方阵。

    AA列满秩 => Ax=0Ax = 0只有零解 => ATAx=0A^TAx = 0 只有零解 => ATAA^TA列满秩。

    又因为ATAA^TAn×nn\times n方阵,因此为可逆矩阵。

  3. ST{0}S\cap T \neq\{0\},则vST,vTv0\exists v \in S\cap T,v^Tv\neq 0。因此SSTT不正交。

命题:设SSTTRnR^n中的两个子空间,且dimS+dimT>ndimS + dimT > n,则SSTT不正交。

  1. AAn×nn\times n矩阵,并且A2=0A^2 = 0,则rn/2r\le n/2

    由题意可知,A×A=0,C(A)N(A)\because A\times A = 0, \therefore C(A)\in N(A)

    rnrrn/2\therefore r\le n-r\Rightarrow r\le n/2

子空间的正交性

定理:设AAn×nn\times n矩阵,则C(A)C(A)N(AT)N(A^T)正交,C(AT)C(A^T)N(A)N(A)正交。

αN(AT)\alpha \in N(A^T),则αTA=0\alpha^T A = 0

因此α\alphaAA的全部列向量垂直。可以得到N(AT)C(A)N(A^T)\perp C(A)

AA 换成ATA^T,可以得到C(AT)N(A)C(A^T)\perp N(A)

四个子空间还存在着如下的关系:

N(AT)+C(A)=Rm,C(A)+N(AT)=RnN(A^T)+ C(A) = R^m, C(A)+N(A^T) = R^n

我们说C(A)C(A)N(AT)N(A^T)RmR^m上的正交补,C(AT)C(A^T)N(A)N(A)RnR^n上的正交补。

定义:设VRnV\subset R^n是一个子空间,VVRnR^n中的正交补定义为集合 {wRnvTw=0,vV}\{w\in R^n |v^Tw = 0,\forall v\in V\}

子空间的性质

  1. AA对称,即A=ATA = A^T,则C(A)=C(AT)C(A) = C(A^T),因此C(A)N(A)C(A) \perp N(A)

  2. ATAA^TA为对称阵,且N(A)=N(ATA)N(A) = N(A^TA)C(AT)=C(ATA)C(A^T)= C(A^TA)

    Ax=0ATAx=0N(A)N(ATA)Ax = 0 \Rightarrow A^TAx= 0 \Rightarrow N(A) \subseteq N(A^TA) ATAx=0xTATAx=0Ax=0N(ATA)N(A)A^TAx= 0 \Rightarrow x^TA^TAx= 0 \Rightarrow Ax = 0 \Rightarrow N(A^TA)\subseteq N(A) N(A)=N(ATA)\Rightarrow N(A ) = N(A^TA)

  3. Ax=bAx= b有解,则Ax=bAx= bC(AT)C(A^T)中有唯一解。

    存在性:设Ax=bAx= b有解,则bC(A)b\in C(A)。又因为C(A)=C(AAT)C(A) = C(AA^T),因此bC(AAT)b\in C(AA^T) yRmAATy=b\therefore \exists y \in R^m \Rightarrow AA^Ty = b letxr=ATyAxr=bxrC(AT)let x_r = A^Ty \Rightarrow Ax_r = b \therefore x_r \in C(A^T) 唯一性(反证法):若xr1x_r^1xr2C(AT),and Axr1=b=Axr2x_r^2\in C(A^T), and\space Ax_r^1 = b = Ax_r^2 A(xr1xr2)=0xr1xr2N(A)\therefore A(x_r^1-x_r^2) = 0\Rightarrow x_r^1-x_r^2\in N(A) xr1,xr2C(AT)xr1,xr2C(AT)N(A)={0}\because x_r^1, x_r^2\in C(A^T) \therefore x_r^1, x_r^2\in C(A^T)\cap N(A) = \{0\} xr1=xr2\therefore x_r^1=x_r^2

results matching ""

    No results matching ""