基本子空间中有着更加特殊和精确的关系,由此可以引出向量空间的正交性及投影等问题。
正交性及正交补
定义:设S和T是Rn的两个子空间(subspace),如果对于∀V∈S,w∈T,vTw=0,则S垂直于T(S is perpendicular to T),并且,这个定义是对称的,即S垂直于T<=>T垂直于S。记做S⊥T。也可以说S和T是正交的(S and T are orthogonal)。
几个常见结论
设A=B1B2,其中B1是n×r 矩阵,B2是r×n矩阵,后两矩阵秩都为r,则A是一个n×n 矩阵,且r(A)=r。
A的每一列是B1的列向量的线性组合,因此C(A)⊂C(B1)。
A的每一列是B2的行向量的线性组合,因此C(AT)⊂C(B2T)。
B1是列满秩,则存在可逆n×n矩阵E1,E1B1=(Ir 0)T。
B2是行满秩,则存在可逆n×n矩阵E2,B2E2=(Ir 0)。
C(A)=C(AE2)=C(B1(Ir 0))=C(B1)。因此,dimC(A)=dimC(B1),即r(A)=r(B1)=r。
若A的列向量线性无关,则ATA为可逆方阵。
A列满秩 => Ax=0只有零解 => ATAx=0 只有零解 => ATA列满秩。
又因为ATA是n×n方阵,因此为可逆矩阵。
若S∩T≠{0},则∃v∈S∩T,vTv≠0。因此S和T不正交。
命题:设S和T是Rn中的两个子空间,且dimS+dimT>n,则S和T不正交。
若A是n×n矩阵,并且A2=0,则r≤n/2。
由题意可知,∵A×A=0,∴C(A)∈N(A)。
∴r≤n−r⇒r≤n/2。
子空间的正交性
定理:设A是 n×n矩阵,则C(A)和N(AT)正交,C(AT)和N(A)正交。
设α∈N(AT),则αTA=0。
因此α 和 A的全部列向量垂直。可以得到N(AT)⊥C(A)。
将A 换成AT,可以得到C(AT)⊥N(A)。
四个子空间还存在着如下的关系:
N(AT)+C(A)=Rm,C(A)+N(AT)=Rn
我们说C(A)是N(AT)在Rm上的正交补,C(AT)是N(A)在Rn上的正交补。
定义:设V⊂Rn是一个子空间,V在Rn中的正交补定义为集合
{w∈Rn∣vTw=0,∀v∈V}
子空间的性质
若A对称,即A=AT,则C(A)=C(AT),因此C(A)⊥N(A)。
ATA为对称阵,且N(A)=N(ATA), C(AT)=C(ATA)。
Ax=0⇒ATAx=0⇒N(A)⊆N(ATA)
ATAx=0⇒xTATAx=0⇒Ax=0⇒N(ATA)⊆N(A)
⇒N(A)=N(ATA)
若Ax=b有解,则Ax=b在C(AT)中有唯一解。
存在性:设Ax=b有解,则b∈C(A)。又因为C(A)=C(AAT),因此b∈C(AAT)
∴∃y∈Rm⇒AATy=b
letxr=ATy⇒Axr=b∴xr∈C(AT)
唯一性(反证法):若xr1,xr2∈C(AT),and Axr1=b=Axr2
∴A(xr1−xr2)=0⇒xr1−xr2∈N(A)
∵xr1,xr2∈C(AT)∴xr1,xr2∈C(AT)∩N(A)={0}
∴xr1=xr2